谷歌浏览器（Google Chrome）下载完成后，不同系统插件的兼容性处理主要取决于操作系统和插件本身。以下是一些建议：
1. 对于Windows系统，确保安装的是与操作系统兼容的插件版本。例如，如果你使用的是Windows 7或更早版本，可能需要安装Windows XP版本的插件。此外，确保插件与你的浏览器版本兼容。
2. 对于Mac系统，确保安装的是与macOS版本兼容的插件。例如，如果你使用的是macOS 10.14或更高版本，可能需要安装macOS 10.13版本的插件。此外，确保插件与你的浏览器版本兼容。
3. 对于Linux系统，确保安装的是与Linux发行版兼容的插件。例如，如果你使用的是Ubuntu或Debian系统，可能需要安装适用于这些系统的插件。此外，确保插件与你的浏览器版本兼容。
4. 在安装插件之前，查看插件的官方文档或GitHub页面，了解其对不同系统的支持情况。如果插件支持多种操作系统，那么它应该能够适应大多数常见的系统版本。
5. 如果遇到兼容性问题，可以尝试使用第三方工具或插件管理器来安装和管理插件。这些工具可以帮助你自动检测并安装与特定操作系统和浏览器版本兼容的插件。
6. 在使用插件时，注意检查其更新日志，看看是否有针对新系统或浏览器版本的更新。如果有，请确保及时更新插件以保持兼容性。
7. 如果插件无法正常工作，可以尝试卸载后重新安装。有时候，卸载并重新安装插件可以解决兼容性问题。
8. 最后，如果以上方法都无法解决问题，可以考虑寻求社区支持或向插件开发者反馈问题。他们可能会提供针对性的解决方案或修复。